Naravno število

Iz MaFiRaWiki

Naravna števila opisujejo Peanovi aksiomi, ki so teorija prvega reda z eno sorto, osnovno konstanto 0 in enomestno opreacijo naslednik S, ki zadoščata naslednjim aksiomom:

  • Vsako naravno število je bodisi enako 0 bodisi je naslednik nekega števila. (Torej 0 ni naslednik.)
  • Če sta naravni števili S(n) in S(m) enaki, sta tudi števili n in m enaki.
  • Naj bo P lastnost definirana na naravnih številih, za katero velja:
    • P(0),
    • za vsak n, iz P(n) sledi P(S(n)).

Tedaj velja P za vsa naravna števila.

Zadnji aksiom se imenuje princip naravne indukcije in je pravzaprav aksiomska shema.

Standardni model Peanovih aksiomov je množica naravnih števil \mathbb{N}. Obstajajo tudi nestandardni modeli Peanovih aksiomov, v katerih poleg običajnih naravnih števil nastopajo tudi neskončna naravna števila.

Seštevanje

V množico naravnih števil \mathbb{N} vpeljemo seštevanje:

x + 0 = 0 + x = x
x + S(y) = S(x + y)

Z indukcijo lahko pokažemo, da je \mathbb{N} za seštevanje komutativni monoid.

Množenje

V množico naravnih števil \mathbb{N} vpeljemo množenje:

x \cdot 0 = 0
x \cdot S(y) = x \cdot y + x

Množica naravnih števil \mathbb{N} je za množenje komutativni monoid.

Glej tudi

Osebna orodja