Močnikova knjiga posebne in obče aritmetike za učiteljišča

Iz MaFiRaWiki

Učbenik je prvič izšel na Dunaju 1878, sedem let kasneje smo v slovenščini dobili Celestinov prevod, različne priredbe pa sta do sredine dvajsetih let objavljala profesorja Luka Lavtar in Anton Černivec. Gre za delo, ki ga je Močnik pripravil v zreli dobi, kot priznan matematični pedagog z bogatimi izkušnjami, nabranimi v njegovi več desetletij trajajoči karieri. Sestavlja ga sedem poglavij.


V uvodu Močnik pojasnjuje naslov učbenika: Števila, ki izražajo določeno množino enot, zovemo posebna števila; pismeno jih izražamo s številkami... Števila, ki izražajo sploh le neko množino enot, so obča števila; zaznamujemo jih s črkami. Le to je treba pomniti, da mora vsaka črka ohraniti v vsem računu tisto vrednost, katero smo ji dali v pričetku računa... Ob danes sprejeti terminologiji tako učbenik razlaga osnove aritmetike in algebre.


V prvem poglavju avtor najprej predstavi dekadni številski sistem, nato poda vse štiri računske operacije in izpelje njihove osnovne lastnosti. Definicije niso pretirano formalne, vendar so povsem razumljive. Pred zadnjim razdelkom, ki ga v vsakem poglavju sestavljajo naloge v ponavljanje, opiše še osnovne pojme v zvezi z deljivostjo (razdelnostjo) števil: praštevila, sestavljena števila, skupni delitelj in večkratnik (mera in mnogokratnik), ostanek pri deljenju, tuja števila (relativna praštevila), kriterije za deljivost, razstavljane števil na prafaktorje ter Evklidov algoritem. Primeri:

  • Avsto-Ogrska monarhija meri 622000 km2; koliko ima prebivalcev, ako se računi na 100 km2 povprek 6700 prebivalcev?
  • Vsak kraj, ki je za 1 stopnjo bolj proti vzhodu, ima za 4 časovne minute prej podne; kolikor kaže ura v Parizu, ki je za 14° bolj proti zahodu nego Dunaj; ako kaže ura na Dunaju 10 ur 28 minut dopoludne?
  • ( 14 x2y2 + 10 x3y + 17xy3 + 10y4 + 3x4 ): ( 5y2 + 3x2 + xy ) =
  • Razstavi na prafaktorje: a) 60060; b) 61380; c) 3155625


Drugo poglavje je v celoti posvečeno ulomkom, katere definira kot razmerja med celimi števili: Ulomek a/b nastane, ako razdelimo prvotno enoto na b enakih delov in vzamemo a takih delov (a b-jin), ali pa , ako vzamemo a prvotnih enot ter razdelimo vsako enoto na b enakih delov in vzamemo od vsake enote 1 tak del.Ulomek je torej število, katero izraža en ali več enakih delov prvotne enote. Imenovalec pove, na koliko enakih delov smo razdelili prvotno enoto; števec pa pove, kolikokrat smo vzeli en tak del. Da moremo kvocient a:b določiti tudi tedaj, kadar a ni mnogokratnik števila b, treba je vrsto celih števil razširiti z uvrščanjem novih enot. Ako štejemo s to novo enoto prav tako kakor s prvotno, dobimo novo številno vrsto. Sledi podroben opis pravil za računanje z ulomki in njihovo pretvarjanje v decimalna števila in obratno. Vsak razdelek zaključujejo naloge za preverjanje osvojenega znanja in utrjevanje. Primeri:

  • A porabi od svojih letnih dohodkov 2/3 za hrano in obleko, 1/8 za stanovanje, kurjavo in razsvetljavo, 1/12 za druge potrebščine in si poleg tega prihrani še 349 K 25 h. Koliko ima letnih dohodkov?
  • Poišči največjo skupno mero in najmanjši skupni mnogokratnik za 18m3y2x4, 36my3x, 14m2yx2!


V tretjem poglavju so predstavljene linearne (prve stopnje) enačbe z eno neznanko, njihovo reševanje in tekstne naloge. Glede reševanja Močnik pravi, da jih razrešujemo opirajoč se na osnovno resnico: enako na enak način izpremenjeno da zopet enako. Sledijo podrobnejša navodila, kako odpraviti ulomke, oklepaje, zbrati člene z neznanko na eni strani in kako se znebiti koeficienta pri neznanki. Drugi razdelek je posvečen uporabi enačb z naslednjimi napotki: Uporabljajoč enačbe v razreševanje treba paziti na dve stvari: da enačbe sestavimo, t.j. da izrazimo dane pogoje z algebrajskimi znaki; da tako dobljene enačbe razrešimo.

Kako naj enačbe sestavljamo, za to nimamo splošnih pravil; za to je treba bistroumnosti in mnogotere vaje. Začetnikom utegne stvar vsaj nekoliko zlajšati to-le pravilo: Dano nalogo si misli razrešeno in z neznanko ravnaj, kakor to zahtevajo pogoji naloge; tako dobiš za eno in isto količino dva po obliki različna izraza. Ako ta izraza izenačiš, dobiš zahtevano enačbo. Bolj enostavne naloge moreš, ne da bi sestavljal posebne enačbe, razrešiti kar na pamet s samim umovanjem. Da se prepričaš, je li naloga prav razrešena, preišči, ali najdena vrednost neznanke tudi res zadošča pogojem naloge. Rešenih je šest primerov nalog. Močnik pripisuje velik pomen ne toliko izpopolnjevanju rutinske sposobnosti uporabe določenega postopka, kar je bila tedaj (kje še danes) ustaljena praksa, kot razvoju iznajdljivosti in samostojnosti, da učenec s preprostim sklepanjem poišče čim enostavnejšo rešitev. Z zvezdico označene naloge naj bi učenci rešili tako na pamet kot tudi pismeno. Primeri:

  • Gospodar obljubi svojemu služabniku kot letno plačilo 180 K in obleko; a po 3 mesecih ga odpusti ter mu da le obleko za plačilo. Za koliko je gospodar zaračunal obleko?
Na pamet:
Ako dobi služabnik za 3 mesece, t. j. 1/4 leta obleko za plačilo, dobiti bi moral za ostale 3/4 leta še 180 K, torej za 1/4 leta 60 K. Ker pa dobi za ta čas obleko, zaračunala se mu je za 60 K.
Pismeno:
Vzemimo, da ima obleka vrednost x K. Plačilo na vse leto iznaša potem (x+180) K, torej za 3 mesece K; ker pa je dobil služabnik za ta čas le obleko, ki je vredna x K, mora biti , torej x = 60 K.*Kateremu številu moraš prišteti njega polovico, tretjino in četrino, da dobiš 100?
  • Ko bi imel 20 K več, nego imam, imel bi ravno 5 K manj nego dvakrat toliko, kolikor imam. Koliko imam denarja?
  • Za neko delo se ponujata dva delavca; A bi dovršil delo v 18, B pa v 15 dneh. V koliko dneh bi A in B skupaj dovršila delo?
  • Iz A v B gre sel, ki prehodi po 12 milj na dan; en dan pozneje se pošlje iz a za njim drug sel; po koliko milj mora ta na dan prehoditi, da dohiti prvega v 4 dneh?
  • Koliko časa mine od enega sestanka kazalcev na uri do drugega?


V četrtem poglavju se srečamo z razmerji in sorazmerji. Sledijo klasični izreki o sorazmerjih in obilo pravil za njihovo preoblikovanje (preobrazbo). Kot primer uporabe obravnava enostavni in sestavljeni sklepni račun (regeldetrijo). Pri enostavnem sklepnem računu loči: sklep enote na množino in obratno, sklep iz množine prek enote na drugo množino, sklep iz mere na mnogokratnik in obratno, sklep iz mnogokratnika prek mere na drug mnogokratnik in razstavni račun. Primeri:

  • Gospodinja ima za 3 tedne kave, ako porabi vsak dan 90 g; za koliko časa bi zadostovala ta kava, ako bi porabila vsak dan 120 g?
  • 15 delavcev izvrši neko delo v 10 dneh, ako delajo na dan po 12 ur; koliko delavcev je treba najeti, da zagotovijo isto delo v 6 dneh, ako delajo le po deset ur na dan?
  • Hitrost poštnega voza in lokomotive se imata kakor 2:9, lokomotiva preteče v dveh urah 54 km; koliko pota naredi poštni voz v 12 urah?


Peto poglavje, nemara najbolj algebrsko, predstavlja potenčno in korensko funkcijo z vsemi tipičnimi lastnostmi. Navedeni so tudi osnovni računski algoritmi za potenciranje in korenjenje števil, ki pa so danes, zaradi uporabe kalkulatorjev, že pozabljeni. Primeri:

  • Ako hočemo trinom vzmnožiti z dva (a + b + c)2 =[(a + b) + c]2 = (a+ b)2 + 2(a + b)·c + c2

Za vzmnoževanje dekadnega števila na kvadrat velja to-le pravilo:Prva ali najvišja številka danega števila da sama svoj kvadrat.Vsaka nastopna številka da v kvadratu dve sestavini: dvojno pred njo stoječe število, pomnoženo s to številko, in sama svoj kvadrat.Te sestavine zapišemo druga pod drugo tako, da pride vsaka nastopna za eno mesto proti desni, ter jih naposled seštejemo, kakor stoje; vsota je iskani kvadrat. Na pr.

31402

32--------9

2·3·1------6

12-----------1

2·31·4----248

42-------------16

- = 9859600

Podobne natačne napotke daje Močnik za računanje kuba decimalnih števil, ter računanje kvadratnega, kubičnega korena polinomov in števil , ki je kljub obstoječim tablicam pomembno na primer za izračun kockine stranice s podano površino (prostornino). Ob praktičnih napotkih avtor ne zanemarja tudi čisto teoretične snovi, kot so kompleksna števila.

  • Sedaj si je treba ogledati še √(-a). Ako vmnožimo bodisi pozitivno, bodisi negativno število s sodim številom, nikdar ne dobimo negativnega števila; zatorej pomeni neko število, katerega ni med onimi, s katerimi smo se pečali doslej. To novo število imenujemo imaginarno (umišljeno) število, v nasprotje vsem drugim številom, katera imenujemo realna (istinita) števila ... ako dobimo v čisto aritmetični nalogi, v kateri se more vprašati le po realnem številu, imaginarno število za resultat, kaže to, da se naloga z danimi pogoji ne da rešiti.
  • 7x + 7x+1 + 7x+2 =19551
  • 2√x+3=7·(2√x+3).


Šesto, obsežno predzadnje poglavje, ki zajema skoraj četrino vse knjige, predstavlja skupaj z dodatkom gradivo, namenjeno dandanes bolj ekonomistom. Da je bila ta snov na prehodu stoletij še predmet poučevanja bodočih učiteljev matematike, si je mogoče razlagati z bistveno drugačno vlogo učitelja v tistem času. V manjših krajih so se je k njim zatekalo prebivalstvo, z najrazličnejšimi prošnjami in eksistenčnim položajem. Med gospodarske in trgovske račune tako Močnik uvršča: procentni račun, obrestni račun (enostavni, diskontni, rokovni, obrestnoobrestni), družbeni račun ( kadar je treba dano število razdeliti na več delov tako, da so ti deli med seboj v istem razmerju kakor dana števila), zmesni račun (povprečni), verižni račun, novčni račun (treba razločevati kov, kovino, težo in čistino), menični račun ter izračun državnih papirjev in akcij. V dodatku pa se srečamo še z enostavnim trgovskim in obrtnim knjigovodstvom, predmet katerega so inventarna knjiga, dnevnik, blagajniška knjiga in glavna knjiga, ter z načrtom enomesečne trgovine kot vajo v praktični uporabi enostavnega knjigovodstva. Primeri:

  • Koliko mark je 100 kron?
  • Nekega dene je kazal termometer ob 6ih zjutraj 12° , ob 10ih 15° , ob 2h popoldne 21° , ob 6ih zvečer pa 16° ; kolika je bila povprečna toplina onega dne?
  • Za menico, ki bode dospela dne 22. julija, se izplača dne 12. junija 2135'49 K s 4 % diskonta; na kateri znesek je bila izdana?
  • Nekdo hoče 5 let dobivati po 1000 K letne rente, koliko kapitala mora naložiti, če se obrestne obresti celo leto nalagajo po 5 %?
  • Kaj je bolje, ali kupiti avstrijske papirne rente (obresti 4'2 %) po 98 ali zlate rente (obresti 4 %) po 116, če je en zlati goldinar = 2 K 40 h?


Sedmo, zadnje poglavje predstavi sistem linearnih enačb in njihovo uporabo pri reševanju nalog. Obdelani so za prakso najzanimivejši kvadratni sistemi velikosti 2 X 2, 3 X 3 in 4 X 4. Da je moči iz dveh enačb z dvema neznankama določiti vrednost teh neznank, treba da sta te dve enačbi popolnoma nezavistni druga od druge in tudi nasprotovati si ne smeta ... Avtor torej predvideva, da dani podatki nalog dopuščajo enolično rešitev. Za reševanje takih sistemov predlaga tri odpravne načine: primerjalnega, zamenjevalnega in način enakih koeficientov, torej metode, ki se jih še vedno poslužujemo. Razlagi in rešenim primerom je dodano 80 sistemov linearnih enačb in več kot 130 tekstnih nalog, ki vodijo do takih sistemov. Enostavnejše naloge lahko rešimo kar na pamet. Primeri:

  • Mislim si ulomek. Vsota iz števca in imenovalca je 16; ako pa števec povečam za dva in imenovalec zmanjšam za 2, dobim recipročno vrednost onega ulomka. Kateri ulomek sem si mislil?
  • Dva popotnika sta si narazen za 9 km. Ako si gresta nasproti, snideta se v 1 uri, ako pa gresta v isto smer, doide hitrejši drugega v 5 urah. Po koliko kilometrov prehodi vsak v eni uri?
  • Izmed dveh pravokotnikov je prvi 6 m, drugi 12 m dolg. Višina prvega je za 3 m dalša nego višina drugega, diagonala prvega pa za 3 metre krajša nego diagonala drugega. Izračunaj višini in diagonali obeh pravokotnikov?

Glej tudi

Osebna orodja