Sigma-algebra

Iz MaFiRaWiki

(Preusmerjeno iz Merljiv prostor)

Naj bo X neprazna množica. Družino \mathcal{M}, \mathcal{M} \subseteq \mathcal{P}(X), imenujemo σ-algebra (tudi sigma-algebra), če velja:

  • X \in \mathcal{M};
  • če E \in \mathcal{M}, potem E^\complement \in \mathcal{M} (zaprtost za komplemente);
  • če E_1, E_2, E_3, \ldots \in \mathcal{M}, potem \cup_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathcal{M} (zaprtost za števne unije).

Elementom σ-algebre rečemo merljive množice, paru (X, \mathcal{M}) pa merljiv prostor.

Naj bo \mathcal{D} \subseteq \mathcal{P}(X). σ-algebra generirana z \mathcal{D} (oznaka: \sigma(\mathcal{D})) je najmanjša σ-algebra, ki vsebuje \mathcal{D}.

Nekatere lastnosti

Ker je vsaka σ-algebra tudi algebra, veljajo za σ-algebro tudi vse lastnosti algebre.

  • če E_1, E_2, E_3, \ldots \in \mathcal{M}, potem \cap_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathcal{M} (ker je \cap_i E_i = (\cup_i E_i^\complement)^\complement; zaprtost za števne preseke)
  • Presek σ-algeber je spet σ-algebra.

Ekvivalentne definicije σ-algebre

Naj bo \mathcal{M} algebra množic na X. Naslednje trditve so ekvivalentne:

  1. \mathcal{M} je σ-algebra.
  2. \mathcal{M} je zaprta za števne disjunkne unije: če je \{E_i\}_{i=1}^{\infty} zaporedje paroma disjunktnih množic v \mathcal{M}, potem je \cup_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathcal{M}.
  3. \mathcal{M} je zaprta za unije naraščajočih zaporedij: če je E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \ldots zaporedje v \mathcal{M}, potem je \cup_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathcal{M}.

Zato smemo v definiciji namesto zaprtosti za poljubne števne unije zahtevati le zaprtost za disjunktne števne unije ali pa za naraščajoča zaporedja.

Glej tudi

Osebna orodja