Mera

Iz MaFiRaWiki

Mere so posplošitve pojmov:

  • dolžina intervala,
  • ploščina ravninskega lika,
  • prostornina nekega območja v \mathbb{R}^3, ...

Vsebina

Formalna definicija

Naj bo (X, \mathcal{M}) merljiv prostor. Preslikava \mu : \mathcal{M} \to [0, \infty] je pozitivna mera (rečemo tudi mera) na \mathcal{M}, če velja:

  • \mu(\emptyset) = 0;
  • μ je števno aditivna: če je \{E_i\}_{i=1}^{\infty} zaporedje paroma disjunktnih merljivih množic, potem \mu(\cup_{i=1}^{\infty}E_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(E_i).

Lastnosti

  • če so E_1, E_2, \ldots, E_n paroma disjunktne merljive množice, potem je \mu(\cup_{i=1}^{n}E_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu(E_i) (končna aditivnost)
  • če je E \subseteq F (E, F \in \mathcal{M}), potem je \mu(E) \leq \mu(F) (monotonost)
  • če je E \subseteq F in \mu(E) < \infty, potem je \mu(F \setminus E) = \mu(F) - \mu(E)
  • za poljubno zaporedje \{E_i\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{M} velja \mu(\cup_{i=1}^{\infty}E_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu(E_i) (števna subaditivnost)
  • če je E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \ldots naraščajoče zaporedje merljivih množic, potem je \mu(\cup_{i=1}^{\infty}E_i) = \lim_{i \to \infty}\mu(E_i) (notranja zveznost)
  • če je E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \ldots padajoče zaporedje merljivih množic in \mu(E_1) < \infty, potem je \mu(\cap_{i=1}^{\infty}E_i) = \lim_{i \to \infty}\mu(E_i) (zunanja zveznost)

Primeri

Mera štetja točk

Naj bo X \neq \emptyset. (X, \mathcal{P}(X)) je merljiv prostor. Definirajmo \mu : \mathcal{P}(X) \to [0, \infty], \mu(E) = \begin{cases} \infty, & |E| \geq |\mathbb{N}| \\ |E|, & |E| < |\mathbb{N}| \end{cases}. μ je pozitivna mera na X, ki ji pravimo mera štetja točk.

Diracova mera

Naj bo X \neq \emptyset in x_0 \in X (x0 fiksiramo). (X, \mathcal{P}(X)) je merljiv prostor. Preslikava \delta_{x_0} : \mathcal{P}(X) \to [0, \infty], \delta_{x_0}(E) = \begin{cases} 1, & x_0 \in E \\ 0, & x_0 \notin E \end{cases} je pozitivna mera, ki ji rečemo Diracova mera.

Končna, σ-končna in polna mera

Naj bo μ mera na (X, \mathcal{M}). Če je \mu(X) < \infty, potem je μ končna mera. Če je X = \cup_{i=1}^{\infty}E_i, kjer je \mu(E_i) < \infty za vsak i, potem je μ σ-končna mera.

Če je μ(E) = 0, pravimo, da je E ničelna množica. Zaradi števne subaditivnosti je števna unija ničelnih množic tudi ničelna množica. Če neka trditev o točkah x \in X velja za vse x izven neke ničelne množice, pravimo, da trditev velja skoraj povsod (glede na μ). Rečemo tudi, da trditev velja skoraj za vse x \in X.

Mera je polna (tudi kompletna), kadar velja: E \in \mathcal{M} \land \mu(E) = 0 \land F \subseteq E \Rightarrow F \in \mathcal{M}. (Zaradi monotonosti je seveda μ(F) = 0.) Če mera ni polna, jo lahko napolnimo z razširitvijo σ-algebre:

Naj bo μ mera na (X, \mathcal{M}). Naj bo \tilde{\mathcal{M}} = \{E \subseteq X \ |\ \exist A, B \in \mathcal{M}: A \subseteq E \subseteq B \land \mu(B \setminus A) = 0\} in naj bo \tilde{\mu}(E) = \mu(A) za tako E \in \tilde{\mathcal{M}}. \tilde{\mu} je napolnitev mere μ in \tilde{\mathcal{M}} je napolnitev σ-algebre \mathcal{M}.

Osebna orodja