Malnič, Aleksander; matematični kolokvij september 2003

Iz MaFiRaWiki

Dvigi avtomorfizmov

Aleksander Malnič

Univerza v Ljubljani

11. september 2003


Študij krovnih projekcij grafov in zemljevidov na ploskvah vznikne konec šestdesetih in v začetku sedemdesetih let prejšnjega stoletja. Razloga sta v grobem dva. Prvi je kombinatorično-topološki. Rešitev Heawoodovega problema (gre za naravno posplošitev problema štirih barv na poljubno sklenjeno ploskev) se je najprej prevedel na problem roda polnih grafov -- ob tem je bilo potrebno razviti celo vrsto tehnik vlaganja grafov v sklenjene ploskve -- prav krovne vložitve pa so tu odigrale pomembno vlogo. Drugi razlog sega na področje algebrske teorije, natančneje, navezuje se na študij simetrijskih lastnosti grafov in zemljevidov na ploskvah.

Eno osrednjih vprašanj v tem kontekstu je problem dviga avtomorfizmov vzdolž krovnih projekcij in je postalo še posebej aktualno v zadnjih desetih letih. V določenih primerih se namreč o strukturnih lastnostih krovnega objekta da veliko povedati, če le poznamo strukturne lastnosti in grupo avtomorfizmov baznega objekta - najmanj, kar je tu še potrebno zahtevati, pa je prav to, da se primerna podrupa avtomorfizmov baznega objekta dvigne. Problem dviga zveznih preslikav je bil v algebraični topologiji rešen že pred skoraj sto leti s pomočjo fundamentalnih grup. Vendar je mogoče pri kombinatoričnih objektih, kot so na primer grafi ali pa zemljevidi, problem zastaviti povsem kombinatorično. Poleg osnovnega vprašanja, kateri so potrebni in zadostni pogoji za to, da se dana grupa avtomorfizmov dvigne vzdolž dane krovne projekcije, se lahko vprašamo tudi po lastnostih in natančnem opisu delovanja dvignjene grupe. Na primer, pri katerih pogojih je dvignjena grupa razcepna razširitev grupe krovnih transformacij po dani osnovni grupi. Posebej težka je (eksplicitna) konstrukcija vseh tistih krovnih projekcij nad danim baznim objektom, vzdolž katerih se izbrana grupa avtomorfizmov dvigne, in podobno. Največ lahko s tem v zvezi povemo, če je krovna projekcija regularna in grupa krovnih transformacij elementarno abelska. Tedaj lahko problem dviga prevedemo na problem iskanja invariantnih podprostorov linearne reprezentacije dane grupe avtomorfizmov na prvi homološki grupi. Na predavanju bomo osvetlili prav ta posebni primer in splošno teorijo podkrepili z nekaj zanimivimi zgledi.

Osebna orodja