Lorentzova transformacija

Iz MaFiRaWiki

Ta članek ali del članka je v delu. Veseli bomo, če ga boste dopolnili in popravili.

Kaj pomeni to opozorilo?

Lorentzova transformacija je prirejanje spremenljivk med dvema inercialnima opazovalnima sistemoma, ki upošteva Einsteinova postulata.

Vsebina

Transformacija prostorskih koordinat

Denimo, da opazovalec v sistemu O zabeleži dogodek (x,y,z,t). Opazovalec v sistemu O', ki se giblje glede na sistem O s hitrostjo u, bo isti dogodek zabeležil kot (x',y',z',t'). Predpostavljeno je, da koordinatni izhodišči sovpadata ob t = t' = 0, in da je relativna hitrost u usmerjena vzdolž osi x,x'.

Sledeče zveze med spremenljivkami veljajo v primeru, da se O' oddaljuje od O (v obratnem primeru pa se u zamenja z u):

x' = \frac{x - u\,t}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \gamma_0 (x - u\,t) , kjer je \gamma_0 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}

y' = y,\,z' = z

t' = \frac{t - (\frac{u}{c^2}) x}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \gamma_0 (t - (\frac{u}{c^2}) x)

Pri majhni relativni hitrosti u\,(u<<c) se Lorentzova zreducira na Galilejevo transformacijo, saj \lim_{u \to 0}\gamma_0 = 1.

Transformacija hitrosti

v_x^\prime = \frac{v_x - u}{1 - \frac{v_x\,u}{c^2}} Postopek

v_y^\prime = \frac{v_y\,\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}{1 - \frac{v_x\,u}{c^2}} Postopek

v_z^\prime = \frac{v_z\,\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}{1 - \frac{v_x\,u}{c^2}}

Transformacija gibalne količine in energije

Relativistična gibalna količina in polna energija sta oblike:

p = m\,v\,\gamma , E = m\,c^2\,\gamma; kjer je \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, m masa, c hitrost svetlobe v vakuumu in v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} hitrost v sistemu O.

\gamma' = \gamma_0\,\gamma\,(1 - \frac{v_x\,u}{c^2}), \gamma_0 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}

p_x' = \gamma_0\,(p_x - \frac{u}{c^2}\,E)

p_y' = p_y,\,p_z' = p_z

E' = m\,c^2\,\gamma' = m\,c^2\,\gamma_0\,\gamma\,(1 - \frac{v_x\,u}{c^2}) = \gamma_0\,(E - u\,p_x)

Transformacija frekvence

\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 - \frac{u}{c}}{1 + \frac{u}{c}}} = \nu \,\gamma_0 (1 - \frac{u}{c})

Pri relativističnem Dopplerjevem efektu je vseeno kdo se oddaljuje, izvor ali detektor. V primeru približevanja vstavi u namesto u.

Če se valovanje širi pod kotom θ glede na smer x:

k = \frac{\omega}{c}, k' = \frac{\omega'}{c}, k in k' sta valovna vektroja v pripadajočih sistemih.

k_x' = \gamma_0 (k_x - \frac{u}{c^2}\omega),\, k_y' = k_y,\, k_z' = k_z

\omega' = \gamma_0 (\omega - u\,k_x) = \gamma_0 \omega (1 - \frac{u}{c}cos\theta )

Pri kotu \theta  = 90^\circ je \omega' = \gamma_0\,\omega, pojavu pa se reče transverzalni Dopplerjev pojav.

Spremeni se tudi kot, čemur pravimo kotna aberacija.

Glej tudi

Osebna orodja