Konvergentno zaporedje

Iz MaFiRaWiki

(Preusmerjeno iz Limita zaporedja)

Vsebina

Konvergenca v metričnem prostoru

Zaporedje a_0, a_1, a_2, \ldots v metričnem prostoru (M,d) konvergira k x \in M, če za vsak ε > 0 obstaja tak n \in \mathbb{N}, da je d(am,x) < ε za vse m \geq n. Točki x pravimo limita zaporedja a_0, a_1, a_2, \ldots. Če obstaja, je ena sama in jo označimo z \lim_{n \to \infty} a_n.

Zaporedje, ki ima limito, se imenuje konvergentno zaporedje.

Zgledi

  • Zaporedje an = n / (n + 1) konvergira k 1.
  • Konstantno zaporedje an = x konvergira k x.
  • Če zaporedje konvergira k x, potem tudi vsako njegovo podzaporedje konvergira k x.
  • Vsako konvergentno zaporedje je Cauchyjevo.
  • V polnem metričnem prostoru je vsako Cauchyjevo zaporedje tudi konvergentno.

Konvergenca v topološkem prostoru

Zaporedje a_0, a_1, a_2, \ldots v topološkem prostoru X konvergira k x \in X, če za vsako okolico x \in U \in O(X) obstaja tak n \in \mathbb{N}, da je a_m \in U za vse m \geq n. Točki x pravimo limita zaporedja a_0, a_1, a_2, \ldots. V splošnem topološkem prostoru limita ni enolično določena z zaporedjem. V T_1 prostoru je enolična, če obstaja.

Zgledi

  • V prostoru s trivialno topologijo vsako zaporedje konvergira k vsaki točki.
  • V prostoru z diskretno topologijo konvergirajo natanko tista zaporedja, ki so od nekega člena naprej konstantna. Limita takega zaporedja je konstantna vrednost, ki jo zaporedje doseže.
  • V metričnem prostoru zaporedje konvergira v metričnem smislu natanko tedaj, ko konvergira v topološkem smislu.

Glej tudi

Osebna orodja