Kosem, Tomaž; Matematični kolokvij marec 2008

Iz MaFiRaWiki

Matrične neenakosti in konveksne funkcije

Tomaž Kosem

Univerza v Ljubljani, IMFM

20. marec 2008


Matrike lahko nastopajo v neenakostih neposredno (če je množica matrik delno urejena) ali posredno preko matričnih količin (numerični zaklad, singularne vrednosti, rang, norma ...). Zaradi pestrosti srečamo matrične neenakosti praktično povsod, kjer so prisotne matrike, še zlasti v matrični in funkcionalni analizi, statistiki, numerični matematiki, pojavijo se tudi v diferencialni geometriji in harmonični analizi, zasledimo pa jih celo v analizi električnih omrežij in kvantni fiziki.

V preteklih desetletjih se je razmahnilo iskanje matričnih interpretacij znanih skalarnih neenakosti (Jensenova, Youngova, Hölderjeva, Cauchy-Schwarzeva neenakost, neenakosti med številskimi sredinami ...). Sprva so v neenakostih pogosto nastopale operatorsko konkavne/konveksne funkcije. Le-te so konkavne/konveksne tudi v običajnem smislu, zato se je ponujalo vprašanje, ali je možno nekatere že znane matrične neenakosti posplošiti na večji razred funkcij. To se je včasih izkazalo za možno, včasih pa je bilo potrebno najti drugačno matrično neenakost.

Na kolokviju bom predstavil nekaj matričnih neenakosti, ki izvirajo iz naslednjih skalarnih neenakosti za konveksne funkcije:

  • f((1-\lambda)a+\lambda b)\le (1-\lambda)f(a)+\lambda f(b) oz. f(\int_X g\,dP)\le \int_X f\circ g\,dP,
  • f(a)+f(b)\le f(a+b),
  • ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} oz. ab\le\Phi(a)+\Psi(b).

Glej tudi

Matematični kolokviji

Osebna orodja