Prezentacija grupe

Iz MaFiRaWiki

(Preusmerjeno iz Končno prezentirana grupa)
Ta članek ali del članka je v delu. Veseli bomo, če ga boste dopolnili in popravili.

Kaj pomeni to opozorilo?

Prezentacija grupe je urejen par (S,R), pri čemer je S množica generatorjev in R množica relatorjev, ki so besede nad generatorji in njihovimi inverzi. Običajno prezentacijo pišemo v obliki: (S,R) = < S | R > . Relatorji določajo ekvivalenčno relacijo \sim v prosti grupi F(S): besedi sta ekvivalentni, če lahko dobimo eno iz druge z zaporedjem vrivanja in brisanja relatorskih podbesed. Izkaže se, da je relacija ~ celo kongruenca, zato je kvocientna struktura grupa. Kvocientna grupa G(S,R) = F(S)/{\sim}, opremljena z inducirano strukturo iz F(S), je grupa, ki jo prezentira urejeni par < S | R > . Ekvivalentno dobimo grupo G(S,R) tako, da z množico relatorjev R zgeneriramo podgrupo \langle R\ranglegrupe F(S) in poiščemo najmanjšo edinko, N, ki vsebuje \langle R\rangle. Tako je G(S,R) kvocientna grupa F(S) / N.

Prezentacija je končna, če sta množici S in R končni. Grupa G je končno prezentirana, če ima končno prezentacijo.

Če sta x in y generatorja, z oznako [x,y] označimo komutator, to je relator [x,y] = xyx-1y-1. Za poljubni množici S in T elemtov grupe označuje [S,T] množico vseh komutatorjev [S,T] = {[x,y]| x ∈ S, y ∈ T}.

Prezentacija <S|[S,S]> določa prosto Abelovo grupo.

Za poljubno grupo G = < S | R > , velja, da je grupa A = < S | R,[S,S] > Abelova. Imenuje se abelanizacija grupe G.

Zgledi

Osebna orodja