Geometrijska optika

Iz MaFiRaWiki

Geometrijska optika je področje optike, ki svetlobo obravnava kot žarke. Temelji na Fermatovem načelu, ki pravi, da svetloba v poljubnem sredstvu med dvema točkama potuje po najkrajši poti oziroma po poti, za katero porabi najmanj časa. Geometrijska optika ne upošteva valovne narave svetlobe, zato nekaterih svetlobnih pojavov, kot sta uklon in interferenca svetlobe, ne pojasni. Približek geometrijske optike je dober, kadar je valovna dolžina svetlobe mnogo manjša od elementov, skozi katere svetloba potuje. Geometrijska optika predstavlja osnovo za razumevanje delovanja optičnih naprav, kot sta daljnogled in mikroskop. V geometrijski optiki - tako kot v valovni optiki - veljata lomni in odbojni zakon.

V praksi se pogosto uporablja obosni približek geometrijske optike, saj postanejo v tem primeru enačbe, ki opisujejo potovanje žarka, linearne in njihova obravnava enostavnejša.

Vsebina

Obosni približek

Obosni približek obravnava le žarke, ki potujejo pod majhnimi koti glede na optično os. Za majhne kote lahko namreč kotne funkcije razvijemo v Taylorjevo vrsto in obdržimo le prvi člen te vrste. Tako dobimo:

\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta

in

\cos \theta \approx 1,

pri čemer je kot izražen v radianih.

Enačbe, ki bi sicer vsebovale kotne funkcije, so tako linearne.

Pomembna parametra, s katerima računamo v obosnem približku, sta kot žarka θ in oddaljenost žarka od optične osi x. Ker so enačbe linearne, se lahko celoten račun zapiše z matrikami. Vsakemu optičnemu elementu v optičnemu sistemu, skozi katerega žarek potuje, pripada svoja matrika. Položaj in kot žarka po izhodu iz optičnega sistema tako dobimo z navadnim matričnim množenjem. Matrikam, ki opišejo prehod žarka skozi optični element, pravimo ABCD matrike.


ABCD matrike

ABCD matrike povezujejo položaj in kot žarka tik pred optičnim elementom ter položaj in kot žarka tik za optičnim elementom.

Vpeljimo oznake x1 za oddaljenost žarka od optične osi (položaj) in θ1 za kot žarka tik pred optičnim elementom ter x2 in θ2 za položaj in kot žarka tik za optičnim elementom. Položaj in kot žarka pred in po optičnem elementu povezuje ABCD matrika na sledeč način:

{x_2 \choose \theta_2} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}{x_1 \choose \theta_1}.

ABCD matrika je različna za različne optične elemente.

ABCD matrike nekaterih optičnih elementov

Optični element ABCD matrika Pojasnila
Prazen prostor ali homogena snov s konstantnim lomnim količnikom \begin{pmatrix} 1 & d\\ 0 & 1 \end{pmatrix} d = debelina praznega prostora ali snovi
Lom na ravni površini med dvema snovema z različnima lomnima količnikoma \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} n1 = lomni količnik snovi na položaju x1

n2 = lomni količnik snovi na položaju x2.

Lom na ukrivljeni površini med dvema snovi z različnima lomnima količnikoma \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R \cdot n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} R = krivinski radij površine, R > 0 za konveksno ukrivljeno površino

n1 = lomni količnik snovi na položaju x1
n2 = lomni količnik snovi na položaju x2.

Odboj na ravnem zrcalu \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} Velja za zrcala, pravokotna na optično os.
Odboj na ukrivljenem zrcalu \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{pmatrix} R = krivinski radij zrcala, R > 0 za konkavno zrcalo
Tanka leča \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{pmatrix} f = goriščna razdalja leče, f > 0 za konveksno lečo.

Tanka leča pomeni, da je goriščna razdalja leče mnogo večja od njene debeline.

Preslikava s tanko lečo

Pri računanju prehoda žarkov skozi tanko lečo je ugodno izbrati dva žarka. Prvi je vzporeden z optično osjo, drugi pa seka optično os ravno ob prehodu skozi lečo. Kjer se žarka sekata, nastane ostra slika predmeta. Vsak žarek opišemo z njegovim odmikom od optične osi (x) in s kotom (θ), pod katerim se giblje glede na optično os. Pred vstopom v lečo žarku, ki je vzporeden z optično osjo, pripišemo kot θ12 = 0 in odmik x12. Žarku, ki seka optično os ravno ob prehodu čez lečo, pa pripišemo kot θ11 in položaj x11 = 0. Žarek preslikamo s pomočjo matrike ABCD za tanko lečo. Položaj in kot žarkov tik za lečo izračunamo tako z enačbo(i=1,2):

{x_{2i} \choose \theta_{2i}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{pmatrix}{x_{1i} \choose \theta_{1i}}.

Preslikava tanke leče
Enlarge
Preslikava tanke leče

Odboj na zrcalu

Za obravnavo odboja na zrcalu si, podobno kot pri leči, izberemo en žarek, ki je vzporeden z optično osjo, in žarek, ki zadane zrcalo ravno na mestu, kjer seka optično os (slika). Kot in položaj žarka tik po odboju izračunamo:

{x_{2i} \choose \theta_{2i}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{pmatrix}{x_{1i} \choose \theta_{1i}}.

Odboj na konkavnem zrcalu
Enlarge
Odboj na konkavnem zrcalu

Kombiniranje ABCD matrik

ABCD matrika bolj zapletenega optičnega sistema je zmnožek matrik za posamezne optične elemente. Vzemimo za primer pot žarka iz sredstva z lomnim količnikom n1 skozi sredstvo debeline d in z lomnim količnikom n2.

Naš optični element lahko razstavimo na tri ločene optične elemente. Najprej bo žarek potoval skozi ravno mejo med dvema sredstvoma z različnima lomnima količnikoma. ABCD matrika za ta prehod je:

M1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}.

Nato bo potoval skozi sredstvo debeline d s konstantnim lomnim količnikom n2. ABCD matrika za ta del je:

M2=\begin{pmatrix} 1 & d\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Nazadnje bo prešel skozi ravno mejo med sredstvoma. Tokrat je treba biti pozoren na to, da žarek pride iz sredstva z lomnim količnikom n2 v sredstvo z lomnim količnikom n1. Zato je element D v pripadajoči ABCD matriki obrnjen. Pripadajoča matrika je tako:

M3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_2}{n_1} \end{pmatrix}.

Matrika za celotni optični element je matrični produkt gornjih matrik. Pozorni moramo biti na pravilen vrstni red delovanja matrik.

M= M3~M2~M1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_2}{n_1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & d\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & d\frac{n_1}{n_2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Lomni in odbojni zakon z ABCD matrikami

Na primeru ravne meje med dvema sredstvoma z različnima lomnima količnikoma in na primeru ravnega zrcala pokažimo, da z ABCD matrikami res dobimo lomni in odbojni zakon.

Najprej si oglejmo lom na meji dveh sredstev. ABCD matrika, ki temu prehodu ustreza, je:

M_L= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}.

Označimo z x1 in θ1 položaj in kot vpadnega žarka glede na optično os, z x2 in θ2 pa položaj in kot lomljenega žarka glede na optično os. Velja

{x_2 \choose \theta_2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} {x_1 \choose \theta_1}.

Iz zgornje matrične enačbe sledi:

x2 = x1

in

\theta_2=\theta_1 \frac{n_1}{n_2}

oziroma

\frac{\theta_1}{\theta_2}=\frac{n_1}{n_2},

kar pa je ravno lomni zakon, saj je račun narejen v obosnem približku in

\sin \theta_1 \approx \theta_1

ter

\sin \theta_2 \approx \theta_2.


Oglejmo si zdaj še odboj na ravnem zrcalu. Matrika, ki ustreza ravnemu zrcalu, je:

M_O= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Enačba, ki povezuje položaj in kot žarka pred in po odboju je tako:

{x_2 \choose \theta_2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &- 1 \end{pmatrix} {x_1 \choose \theta_1}.

Od tu hitro vidimo, da res velja odbojni zakon, saj je

x2 = x1

in

θ2 = − θ1.


Viri

ZWITTER, Tomaž. (2002). Naše in druga osončja. [Online]. [Citirano 10. maj 2015; 14.30]. Dostopno na spletnem naslovu: http://predmeti.fmf.uni-lj.si/astro_op?action=AttachFile&do=get&target=skripta.pdf

STRNAD, J. Fizika. Del 2, Elektrika, optika. 6. natis. Ljubljana: DMFA-založništvo, 2005.

Ray transfer matrix analysis. (17.5.2015). Wikipedija The Free Encyclopedia. Pridobljeno 17.5.2015, iz http://en.wikipedia.org/wiki/Ray_transfer_matrix_analysis

Osebna orodja