Forstnerič, Franc; Matematični kolokvij oktober 2013

Iz MaFiRaWiki

Kompleksna analiza in problem Calabi-Yau

Franc Forstnerič

Univerza v Ljubljani, FMF

24. oktober 2013


Ploskev v Evklidskem prostoru se imenuje (metrično) kompletna, če ima vsaka krivulja od poljubne notranje točke do roba neskončno evklidsko dolžino. Ploskev je minimalna v smislu Eulerja, če lokalno minimizira ploščino. Ploskev z izborom konformne (=kompleksne) strukture se imenuje Riemannova ploskev; njena imerzija v \mathbb{R}^n je konformna, če ohranja kote. Konformna imerzija v \mathbb{R}^3 je minimalna natanko tedaj, ko je harmonična.

Leta 1965 je znameniti italijanski geometer Eugenio Calabi postavil domnevo, da je vsaka kompletna minimalna ploskev v \mathbb{R}^3 neomejena. Domnevo je ovrgel šele Nadirashvili leta 1996 s konstrukcijo omejenih konformnih minimalnih imerzij enotnega diska v \mathbb{R}^3. Sledila je vrsta rezultatov o obstoju omejenih kompletnih minimalnih ploskev splošnejšega topološkega tipa. Leta 2000 je ta sklop problemov obravnaval Shing-Tung Yau v Millenium Lecture in od tedaj nosi ime "conformal Calabi-Yau problem".

Namen predavanja je prikazati naravno povezavo med minimalnimi ploskvami v \mathbb{R}^3 in holomorfnimi ničenimi krivuljami v \mathbb{C}^3. Z uporabo novejših metod kompleksne analize je predavatelj skupaj z A. Alarconom (Univerza v Granadi) v letu 2013 pokazal, da vsaka Riemannova ploskev z robom dopušča pravo vložitev v kroglo v \mathbb{C}^3 kot kompletna holomorfna ničelna krivulja. Realni in imaginarni del take krivulje sta omejeni kompletni konformno imerzirani minimalni ploskvi v \mathbb{R}^3. To je prvi tovrstni rezultat v literaturi, pri katerem kontroliramo ne le topološki tip izvorne ploskve, ampak tudi njeno konformno strukturo.

Predavanje bo v slovenščini ali, v primeru tujih obiskovalcev, v angleščini. Prosojnice bodo v angleškem jeziku.

Glej tudi

Matematični kolokviji

Osebna orodja