Evklidski prostor

Iz MaFiRaWiki

Evklidski prostor razsežnosti ali dimenzije n je topološki vektorski prostor \mathbb{R}^n urejenih n-teric realnih števil \vec{x} = (x_1, \ldots, x_n). Vektorje seštevamo in množimo s skalarjem po komponentah: \vec{x} + \vec{y} = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) in \lambda \cdot \vec{x} = (\lambda \cdot x_1, \ldots, \lambda \cdot x_n).

Enorazsežni evklidski prostor je Evklidska premica \mathbb{R}.

Dvorazsežni evklidski prostor je Evklidska ravnina \mathbb{R}^2.

Evklidski prostor \mathbb{R}^n je Hilbertov prostor za skalarni produkt \vec{x} \cdot \vec{y} = x_1 y_1 + \cdots x_n y_n, ki porodi evklidsko normo \|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}, ki porodi evklidsko metriko d(\vec{x}, \vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|, ki porodi evklidsko topologijo.

Osebna orodja