Kategorija

Iz MaFiRaWiki

(Preusmerjeno iz Domena)

Vsebina

Definicija

Kategorija C je matematična struktura, ki je podana z razredom objektov C0 in razredom morfizmov C1, ki zadoščata naslednjim aksiomom:

  1. Vsak morfizem f ima enolično določeno domeno dom(f) in kodomeno cod(f), ki sta objekta. Če je A = dom(f) in B = cod(f), pišemo f : A → B.
  2. Za vsaka f : A → B in g : B → C obstaja enolično določen kompozitum g f : A → C. Kompozicija morfizmov je asociativna: za vse f : A → B, g : B → C, h : C → D velja (h g) f = h (g f).
  3. Za vsak objekt A obstaja enolično določena identiteta 1A : A → A, tako da za vse f : B → A in g : A → B velja g 1A = g in 1A f = f.

Razred morfizmov z domeno A in kodomeno B v kategoriji C označimo s C(A,B). Kategorija je majhna, če sta razreda objektov in morfizmov množici in lokalno majhna, če je C(A,B) množica za vsaka objekta A in B.

Zgledi

Običajne matematične strukture skupaj s preslikavami, ki ohranjajo strukturo, tvorijo kategorije, v katerih komponiramo morfizme kot funkcije:

Kategorije in digrafi

Vsaka kategorija je tudi digraf. C = (C0,C1,dom,cod), če pozabimo na kompozitum morfizmov.

Kategorija, v kateri je med dvema objektoma največ en izomorfizem se imenuje skeletna kategorija.

Zanimive so kategorija, v kateri so vsi morfizmi izomorfizmi (grupoidi). Če v taki kategoriji pozabimo na kompozitum, dobimo simetrični digraf.

Glej tudi

Osebna orodja