Delovanje grup

Iz MaFiRaWiki

V matematiki pogosto opisujemo simetrije objektov s pomočjo jezika grup. O delovanju grupe na množico v splošnem govorimo, kadar vsakemu elementu grupe priredimo neko bijektivno preslikavo dane množice objektov (točk, oglišč, daljic, vektorjev,...) vase. Če množica objektov končna, običajno govorimo delovanju s permutacijami, v primeru neskončnih množic vektorjev ali točk pa o delovanju s transformacijami.

Vsebina

Definicija

Naj bo G grupa in X poljubna množica. Preslikavo \rho\colon G \times X \to X imenujemo (levo) delovanje grupe G na množici X, če zadošča pogojema:

  • ρ(gh,x) = ρ(g,ρ(h,x)) za vse g,h\in G ter x\in X.
  • ρ(1,x) = x za vse x\in X (kjer 1 označuje nevtralni element grupe G).

Množico X v tem primeru imenujemo (leva) G-množica in rečemo, da grupa G deluje na množici X (z leve).

Opombe

  1. Namesto zapisa z imenom preslikave ρ se v literaturi pogosto uporabljata tudi krajša zapisa s piko ali eksponentom: \rho(g,x)\equiv g\cdot x \equiv x^g.
  2. Iz definicije sledi, da vsak element g iz G določa bijektivno preslikavo množice X s predpisom \rho_g\colon x\mapsto \rho(g,x). Zato lahko enakovredno definiramo delovanje grupe G na množici X tudi kot (poljuben) homomorfizem grupe G v simetrično grupo Sym(X).
  3. Na podoben način definiramo tudi desno delovanje grupe kot preslikavo \rho\colon X\times G z lastnostjo ρ(x,gh) = ρ(ρ(x,g),h) in ρ(x,1) = x za ustrezne elemente iz G in X. Pri levem delovanju bo torej element gh na x najprej deloval s h in šele nato z g, pri desnem pa bo ravno obratno. Ker vsako desno delovanje ρ enolično določa neko levo delovanje \tau \colon G \times M \to M \colon (g, x) \mapsto \rho(m, g^{-1}) in obratno, v praksi običajno študiramo le leva delovanja.

Primeri

  1. Trivialno delovanje poljubne grupe G je definirano kot g·x=x za vse g iz G in vse x iz X, torej, vsakemu elementu grupe priredimo identiteto na množici X.
  2. Vsaka grupa deluje G deluje sama nase na več načinov, od katerih sta najpomembnejša delovanje z levim množenjem (g·x = gx za vse x iz G) in delovanje s konjugiranjem (g·x = gxg−1 za vse x iz G).
  3. Če je H podgrupa grupe G, potem G deluje na množici levih odsekov \left\{gH|g\in G\right\} podobno kot v prejšnjem primeru na dva naravna načina: z levim množenjem ali s konjugiranjem.
  4. Simetrična grupa Sn in njene podgrupe naravno delujejo na množici { 1, ... , n } tako, da premešajo (permutirajo) njene elemente.
  5. Grupa simetrij poliedra ali drugih geometrijskih objektov deluje na množici njegovih oglišč (pa tudi stranic, lic, diagonal in podobno).
  6. Grupa avtomorfizmov vektorskega prostora (ali grupe, kolobarja, grafa, ...) deluje na tem vektorskem prostoru (grupi, kolobarju, množici vozlišč grafa, ...).
  7. Splošna linearna grupa GL(n,R), posebna linearna grupa SL(n,R), ortogonalna grupa O(n,R) in posebna ortogonalna grupa SO(n,R) so Liejeve grupe, ki delujejo na Rn.
  8. Aditivna grupa realnih števil (R, +) deluje na faznem prostoru sistema stanj v klasični mehaniki.


Posebne vrste delovanj

Delovanje grupe G na množici X se imenuje:

  • tranzitivno, če za poljubna elementa x,y\in X obstaja element g\in G, tako da je g·x = y.
  • zvesto, če za poljubna različna g,h\in G obstaja neki x\in X, da velja g·xh·x (ali ekvivalentno, če za vsak g\ne 1\in G obstaja x\in X, za katerega je g·xx).
  • semiregularno ali prosto, če za poljubna različna elementa g,h\in G in vse elemente x\in X velja g·xh·x (ali ekvivalentno, če iz g·x = x za neki x sledi g = 1\in G).
  • regularno (ali enostavno tranzitivno), če je hkrati tranzitivno in semiregularno (ali ekvivalentno, če za poljubna elementa x,y\in X obstaja natanko en g\in G z lastnostjo g·x = y).
  • n-tranzitivno, če za poljubne paroma različne x1, ..., xn in paroma različne y1, ..., yn iz X obstaja g iz G, da velja g.xk = yk za 1 ≤ kn. Če je tak g vsakič en sam, je delovanje strogo n-tranzitivno.

Vsako prosto delovanje na neprazni množici je zvesto. Grupa G deluje zvesto na množici X natanko tedaj, ko ima homomorfizem G → Sym(X) trivialno jedro. V tem primeru je grupa G izomorfna svoji sliki v Sym(X). Ker je delovanje vsake grupe G nase z levim množenjem regularno in torej tudi zvesto, je vsaka grupa izomorfna neki grupi permutacij svojih elementov (Cayleyev izrek).

Kadar grupa G ne deluje zvesto na X, lahko dobimo zvesto delovanje s faktorizacijo. Edinka N = \{g\in G \mid g\cdot x = x \quad \forall x\in X\} je jedro homomorfizma G → Sym(X) in kvocientna grupa G/N deluje zvesto na X s predpisom (gNx = g·x. Začetno delovanje je seveda zvesto natanko v primeru, ko je N = {e}.

Orbite, bloki in stabilizatorji

Naj grupa G deluje na množici X. Če je x nek izbrani element iz X, potem množico njegovih slik g·x glede na elemente iz grupe G imenujemo orbita točke x in jo označimo z Gx ali xG, torej Gx = \left\{ g\cdot x \mid g \in G \right\}. Orbite delovanja določajo particijo množice X in so v bistvu ekvivalenčni razredi, ki jih dobimo z zahtevo, da sta elementa x, y\in X v relaciji, kadar obstaja g\in G z lastnostjo g\cdot x=y.

Množico vseh orbit v dani situaciji označimo z X/G in imenujemo kvocient delovanja, v geometrijskih situacijah pa tudi prostor orbit.

If Y is a subset of X, we write GY for the set { g·y : y \in Y and g \in G}. We call the subset Y invariant under G if GY = Y (which is equivalent to GYY). In that case, G also operates on Y. The subset Y is called fixed under G if g·y = y for all g in G and all y in Y. Every subset that's fixed under G is also invariant under G, but not vice versa.

Every orbit is an invariant subset of X on which G acts transitively. The action of G on X is transitive if and only if all elements are equivalent, meaning that there is only one orbit.

For every x in X, we define the stabilizer subgroup of x (also called the isotropy group or little group) as the set of all elements in G that fix x:

G_x = \{g \in G \mid g\cdot x = x\}

This is a subgroup of G, though typically not a normal one. The action of G on X is free if and only if all stabilizers are trivial. The kernel N of the homomorphism G → Sym(X) is given by the intersection of the stabilizers Gx for all x in X.

Orbits and stabilizers are not unrelated. For a fixed x in X, consider the map from G to X given by g \mapsto g·x. The image of this map is the orbit of x and the coimage is the set of all left cosets of Gx. The standard quotient theorem of set theory then gives a natural bijection between G/Gx and Gx. Specifically, the bijection is given by hGx \mapsto h·x. This result is known as the orbit-stabilizer theorem.

If G and X are finite then the orbit-stabilizer theorem, together with Lagrange's theorem, gives

|Gx| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|

This result is especially useful since it can be employed for counting arguments.

Note that if two elements x and y belong to the same orbit, then their stabilizer subgroups, Gx and Gy, are isomorphic. More precisely: if y = g·x, then Gy = gGx g−1.

A result closely related to the orbit-stabilizer theorem is Burnside's lemma:

\left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\left|X^g\right|

where Xg is the set of points fixed by g. This result is mainly of use when G and X are finite, when it can be interpreted as follows: the number of orbits is equal to the average number of points fixed per group element.

Generalizations

One can also consider actions of monoids on sets, by using the same two axioms as above. This does not define bijective maps and equivalence relations however.

Instead of actions on sets, one can define actions of groups and monoids on objects of an arbitrary category: start with an object X of some category, and then define an action on X as a monoid homomorphism into the monoid of endomorphisms of X. If X has an underlying set, then all definitions and facts stated above can be carried over. For example, if we take the category of vector spaces, we obtain group representations in this fashion.

One can view a group G as a category with a single object in which every morphism is invertible. A group action is then nothing but a functor from G to the category of sets, and a group representation is a functor from G to the category of vector spaces. In analogy, an action of a groupoid is a functor from the groupoid to the category of sets or to some other category.

Without using the language of categories, one can extend the notion of a group action on a set X by studying as well its induced action on the power set of X. This is useful, for instance, in studying the action of the large Mathieu group on a 24-set and in studying symmetry in certain models of finite geometries.

See also

References

Osebna orodja