Cauchyjev pogoj

Iz MaFiRaWiki

Ta članek ali del članka je v delu. Veseli bomo, če ga boste dopolnili in popravili.

Kaj pomeni to opozorilo?

Zaporedje {an}, n = 0, 1, 2, ..., izpolnjuje Cauchyjev pogoj, če za vsak ε > 0, obstaja takšno naravno število n0, da je |an - am| < ε za poljubna n,m > n0. To pa pomeni, da sta si dovolj pozna člena poljubno blizu. Zaporedje, ki zadošča Cauchyjevemu pogoju, je vedno omejeno ( in je tudi konvergentno ). Na kratko pravimo takemu zaporedju Cauchyjevo zaporedje. Cauchyjev pogoj pa ima smisel tudi pri limiti funkcije. Pravimo, da funkcija, definirana v okolici točke a, razen morda v a, izpolnjuje Cauchyjev pogoj pri a, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da je |f(x) - f(x1)| < ε, za vse x, x1, za katere je 0 < |x - a| < δ in 0 < |x1 - a| < δ.

V metričnem prostoru M pa zaporedje {an}, n = 0, 1, 2, ..., izpolnjuje Cauchyjev pogoj, če za vsak (še tako majhen) ε > 0 obstaja n0, da je d(an,am) < ε za vse n,m > n0.

V realnih številih R vemo, da je zaporedje konvergentno natanko tedaj, ko izpolnjuje Cauchyjev pogoj. Za metrične prostore pa to v splošnem ne velja.

Glej tudi

Osebna orodja