Besselov snop

Iz MaFiRaWiki

Besselov snop je snop valovanja, katerega prečni profil opišemo z Besselovo funkcijo prve vrste. Najpogosteje je to snop elektromagnetnega oziroma optičnega valovanja (svetloba), lahko pa tudi akustičnega (zvok) ali celo gravitacijskega valovanja. Je stacionarna (monokromatska) rešitev skalarne Helmholtzeve (amplitudne) enačbe, ki je cilindrično simetrična in ima izrazit vrh intenzitete na optični osi. Posebnost Besselovega snopa je, da se (v nasprotju s tipičnimi snopi valovanja, npr. Gaussovim snopom) med propagacijo ne spreminja in ne širi, oziroma z drugimi besedami, da ostaja dobro fokusiran na celotni optični osi (v nasprotju z Gaussovim snopom, ki je dobro fokusiran le na kratkem območju imenovanem območje bližnjega polja; polovici dolžine tega območja pravimo Rayleighova dolžina Gaussovega snopa). Besselov snop prav tako poseduje posebno lastnost samo-obnavljanja, kar pomeni, da tudi če snopu postavimo oviro, ki deloma zastre ali spremeni del snopa, se bo Besselov snop na neki razdalji za oviro obnovil v prvotni obliki, neglede na obliko ali značaj ovire.

Obe posebnosti Besselovega snopa (pomanjkanje uklonske razširitve in samo-obnavljanje) potrebujeta neskončno količino energije, da držita na poljubni razdalji vzdolž optične osi. Zato idealen Besselov snop v naravi ne more obstajati (prav tako kot v naravi ne more obstajati idealen raven val), obstajajo lahko le njegovi približki s končno količino energije, ki pa imajo zaradi končnosti energije tudi končno razdaljo na kateri se obnašajo kot dober približek idealnemu Besselovemu snopu. Tako je na primer razdalja, na kateri je približek Besselovega snopa dobro fokusiran, sicer končna, vendar lahko vseeno nekaj redov velikosti večja, kot pri ustreznem Gaussovem snopu s podobno širino snopa v grlu (grlo snopa je mesto, kjer je snop najbolje fokusiran). Zaradi obeh posebnosti najdejo približki Besselovih snopov zelo širok spekter uporabe.

Vsebina

Matematična oblika

Osnoven Besselov snop

Amplituda osnovnega Besselovega snopa
Enlarge
Amplituda osnovnega Besselovega snopa

Kompleksna amplituda osnovnega Besselovega snopa se v cilindričnih koordinatah \left( r, \varphi, z \right) zapiše kot:

\psi(r,z) = A J_0 \left( k_t r \right) e^{i k_z z}

kjer je:

J0 je Besselova funkcija prve vrste reda 0,
r je prečna razdalja do optične osi,
z je odmik vzdolž optične osi,
kt in kz sta transverzalno in longitudinalno valovno število, za katera mora veljati: \sqrt{k_t^2 + k_z^2} = k = \frac{\omega}{c}, kjer je k skupno valovno število snopa, ω krožna frekvenca snopa in c hitrost valovanja (za elektromagnetno valovanje je to hitrost svetlobe),
A je poljubna konstanta različna od 0.

Kot je razvidno iz zapisa se intenziteta, ki je definirana kot I \propto {\left| \psi \right|}^2, ne spreminja s propagacijo vzdolž optične osi (os z). Besselov snop poseduje cilindrično simetrijo v kompleksni amplitudi (posledično tudi v intenziteti), največjo vrednost intenzitete pa doseže na osi (pri r = 0). V grobem je tako podoben osnovnemu Gaussovemu snopu, s to razliko, da se Gaussov snop med propagacijo širi, medtem ko Besselov snop med propagacijo ohranja konstanten intenzitetni profil.

Energija snopa, ki je definirana kot:

E \propto \iint\limits_{z=konst.} {\left| \psi \right|}^2 dx dy

je za Besselov snop neskončna (tako kot za idealen raven val). To pomeni, da v praksi ne moremo ustvariti idealnega Besselovega snopa, le poljubno dobre približke.

Besselovi snopi višjih redov

Absolutna vrednost amplitude (oz. kvadratni koren iz intenzitete) Besselovega snopa reda 1 (faza snopa ni prikazana)
Enlarge
Absolutna vrednost amplitude (oz. kvadratni koren iz intenzitete) Besselovega snopa reda 1 (faza snopa ni prikazana)

Kompleksna amplituda Besselovega snopa reda m \in \mathbb{Z} se v cilindričnih koordinatah \left( r, \varphi, z \right) zapiše kot:

\psi(r,\varphi,z) = A J_m \left( k_t r \right) e^{i m \varphi} e^{i k_z z}

kjer je Jm Besselova funkcija prve vrste reda m.

Besselovi snopi višjih redov so direktne posplošitve osnovnega Besselovega snopa (ta ustreza snopu z m = 0) in so najbolj splošni snopi, ki še vedno ohranjajo konstantno intenziteto pri progaciji vzdolž osi z in hkrati posedujejo cilindrično simetrijo v intenziteti (vendar pa za m \neq 0 ne več tudi v kompleksni amplitudi, saj se faza snopa tokrat spreminja s \varphi (faza snopa je tu m \varphi)). Intenziteta je za Besselove snope višjih redov m \neq 0, v nasprotju z osnovnim Besselovim snopom, na osi (torej pri r = 0) ničelna (pravimo, da ima snop votlo sredico), na osi pa se nahaja tudi optičen vrtinec moči m. V vseh naštetih lastnostih so tako tudi Besselovi snopi višjega reda zelo podobni Laguerre-Gaussovim snopom višjega reda (Laguerre-Gaussovi snopi so cilindrično simetrične posplošitve Gaussovega snopa, ki prav tako posedujejo votlo sredico in optičen vrtinec na optični osi), razen tega, da Besselovi snopi višjih redov ohranjajo konstanten intenzitetni profil med propagacijo, medtem ko se Laguerre-Gaussovi snopi med propagacijo širijo.

Tudi Besselovi snopi višjih redov nosijo neskončno količino energije.

Splošni snopi brez uklona

Najbolj splošne rešitve Helmholtzeve (amplitudne) enačbe, ki ohranjajo konstanten intenzitetni profil pri propagaciji vzdolž optične osi (t.i. snope brez uklona), izpeljemo preko postopka separacije spremenljivk, kjer naredimo separacijo po spremenljivki z. Tako dobimo enačbo za transverzalno kompleksno amplitudo:

\nabla_\perp^2 \psi_t + k_t^2 \psi_t = 0

kjer je \nabla_\perp^2 := \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} transverzalni del Laplaceovega operatorja. Tu smo izrazili kompleksno amplitudo kot: \psi(x,y,z) = \psi_t(x,y) e^{i k_z z}, pri čemer velja: k_t^2 + k_z^2 = k^2.

Najbolj splošna rešitev zgornjih enačb je naslednja (zapisana v cilindričnih koordinatah \left( r, \varphi, z \right) za večjo preglednost):

\psi(r,\varphi,z) = e^{i k_z z} \int_0^{2 \pi} A \left( \alpha \right) e^{i k_t r \cos \left( \varphi - \alpha \right)} d \alpha

kjer je A \left( \alpha \right) poljubna kompleksna funkcija spremenljivke \alpha \in \left[ 0 , 2 \pi \right). Izraz za kompleksno amplitudo predstavlja le s funkcijo A \left( \alpha \right) uteženo kombinacijo ravnih valov, z valovnimi vektorji pod kotom \theta_0 = \arctan \frac{k_t}{k_z} glede na optično os in velikostmi valovnih vektorjev k. Funkciji A \left( \alpha \right), ki tako enolično določa obliko snopa brez uklona, pravimo tudi kotni spekter snopa brez uklona.

Navedimo nekaj primerov kotnih spektrov različnih snopov brez uklona. Spodaj navedeni kotni spektri snopov ustrezajo separabilnim rešitvam enačbe za transverzalno kompleksno amplitudo snopa brez uklona (glej zgoraj) v izbranih koordinatnih sistemih:

Koordinatni sistem Snop Kotni spekter Parametri Komentar
Kartezične koordinate Raven val A(\alpha) = A \delta \left( \alpha - \alpha_0 \right) \alpha_0 \in \left[ 0 , 2 \pi \right) α0 je kot smeri širjenja snopa glede na os x v ravnini xy

δ(x) je Diracova delta funkcija

Cilindrične koordinate Besselov snop reda m A(\alpha) = \frac{A}{2 \pi i^m} e^{i m \alpha} m \in \mathbb{Z} Osnoven Besselov snop je poseben primer (m = 0)
Eliptične koordinate Sod Mathieu-jev snop A_e^M(\alpha ; q) = \frac{A}{i^m} \mathrm{ce_m} \left( \alpha, q \right) q \in \mathbb{R}

m \in \mathbb{N} \cup \{0\}

q je parameter eliptičnosti

cem je soda periodična Mathieujeva funkcija reda m

Lih Mathieu-jev snop A_o^M(\alpha ; q) = \frac{A}{i^m} \mathrm{se_m} \left( \alpha, q \right) q \in \mathbb{R}

m \in \mathbb{N}

q je parameter eliptičnosti

sem je liha periodična Mathieujeva funkcija reda m

Parabolične koordinate Sod paraboličen snop A_e^P(\alpha ; a) = \frac{A}{2 {\left( \pi \left| \sin \alpha \right| \right)}^\frac{1}{2} } \exp \left( i a \ln \left| \tan \frac{\alpha}{2} \right| \right) a \in \mathbb{R}
Lih paraboličen snop A_o^P(\alpha ; a) = \frac{1}{i} \begin{cases} A_e^P(\alpha ; a) & ; \alpha \in \left( 0 , \pi \right) \\ - A_e^P(\alpha ; a) & ; \alpha \in \left( \pi , 2 \pi \right) \end{cases} a \in \mathbb{R}

Vsi (idealni) snopi brez uklona potrebujejo neskončno količino energije, tako kot Besselov snop ali raven val, zato so njihove eksperimentalne realizacije zgolj približki (ki pa so lahko sicer poljubno dobri).

Lastnost samoobnavljanja

Ena izmed izjemnih lastnosti Besselovega snopa in ostalih snopov brez uklona je samoobnavljanje (self reconstruction): če delu snopa postavimo (npr. neprepustno) oviro, se bo snop na neki karakteristični razdalji za oviro skorajda v celoti obnovil, tudi če ta ovira zastira dele snopa z največjo intenziteto (realnemu snopu s končno energijo se skupna energija sicer zmanjša, vendar oblika snopa se ohrani).

Lastnost samoobnavljanja snopov brez uklona lahko razumemo z dveh stališč: po Babinetovem pripcipu ali s pomočjo geometrijske optike. Najprej se spomnimo na Babinetov princip, ki pravi, da je polje, ki se širi za oviro (ψzmoten) enako polju, kot bi se širilo skozi prostor, če ovire tam ne bi bilo (ψ0), minus del polja osnovnega snopa, ki bi izhajal iz mesta ovire same, če bi bila ovira v resnici luknja (ψluknja). Bolj natančno:

ψzmoten = ψ0 − ψluknja

Če je npr. ovira pri z = 0 in pomnoži osnovno polje s funkcijo: f(x,y), potem je pri z = 0: \psi_{zmoten}(x,y,0) = \psi_0 (x,y,0) \cdot f(x,y) in: \psi_{luknja} (x,y,0) = \psi_0 (x,y,0) \cdot ( 1 - f(x,y) ).

Če imamo sedaj osnovno polje ψ0, ki je snop brez uklona in je funkcija f(x,y) takšna, da je polje ψluknja snop s končno količino energije (to velja npr. za vsako oviro končne velikosti), potem: \psi_{luknja} \rightarrow 0, z \rightarrow \infty (slika luknje se torej razmaže na tem večjo površino, tem večji je z, njena amplituda pa pada, saj se skupna energija vsakega snopa pri širjenju ohranja), medtem ko ψ0 ostaja nemoten, saj je po predpostavki snop brez uklona. Sledi, da je s povečevanjem z zmoteno polje vedno bolj podobno nemotenemu polju, ne glede na obliko ali položaj ovire:

\psi_{zmoten} \rightarrow \psi_0, z \rightarrow \infty

Tej lastnosti pravimo samoobnavljanje, in velja eksaktno le za idealne snope brez uklona. Zanimivo pa je, da se ta lastnost ohrani, tudi če imamo opravka le s približki snopov brez uklona, vsaj na relativno majhnih razdaljah. Okvirno: velja kjer je približek snopa brez uklona še vedno brez znatnega širjenja, obnovitev snopa pa se zgodi kjer se bi npr. Gaussov snop s širino grla v velikosti ovire že znatno razširil (kar pa je lahko precej prej kot pa se začne sam približek snopa brez ujklona znatno širiti).

Geometrijski pogled na lastnost samoobnavljanja pa bi bil, da so snopi brez uklona natanko tisti snopi, ki so sestavljeni iz ravnih valov, ki oklepajo s smerjo širjenja en sam, fiksen, kot. Zato bi v približku geometrijske optike, kjer opišemo raven val kot skupek neskončnega števila vzporednih (geometrijskih) žarkov, pričakovali, da bi (okrogla) ovira postavljena na pot takšnemu snopu pri z = 0 za sabo vrgla (geometrijsko) senco v obliki stožca, ki sega le do z \approx z_{min}:

z_{min} = \frac{D_o}{2} \frac{k}{k_t}

kjer je Do premer ovire, k (glavno) valovno število in kt transverzalno valovno število snopa brez uklona. Izven območja geometrijske sence ovire se snop obnaša (skoraj) tako kot če ovire ne bi bilo, in ker je geometrijska senca ovire le končne globine, to pomeni, da se snop brez uklona na razdaljah večjih od zmin obnaša skoraj tako kot če ovire sploh ne bi bilo - se torej samoobnovi. Naveden izraz za zmin drži (kot približek) tudi v resnici, izven geometrijskega približka.

Načini eksperimentalne realizacije

Ker nosi idealen Besselov snop neskončno količino energije v naravi ne more obstajati, obstajajo lahko le njegovi približki s končno količino energije. Zaradi končnosti energije imajo tudi končno razdaljo na kateri se obnašajo kot dober približek idealnemu Besselovemu snopu. Tako je na primer razdalja, na kateri je približek Besselovega snopa dobro fokusiran, sicer končna, vendar lahko vseeno nekaj redov večja, kot pri ustreznem Gaussovem snopu s podobno širino snopa v grlu. Za primerjavo: za svetlobo z valovno dolžino λ = 500nm (zelena svetloba) in širino snopa v grlu 1 \mu m \sim 2 \lambda je dvojna Rayleighova dolžina (torej dolžina na kateri je snop dobro fokusiran) za Gaussov snop približno \approx 3 \mu m \sim 6 \lambda, za Bessel-Gaussov snop (poseben približek idealnega Besselovega snopa) pa lahko tudi > 1 mm \sim 2000 \lambda. Zaradi te posebnosti najdejo približki Besselovih snopov zelo širok spekter uporabe.

V praksi se najpogosteje uporablja Bessel-Gaussov snop, katerega amplituda pri z = 0 je produkt amplitude idealnega Besselovega snopa in Gaussovega snopa ustrezne širine (Gaussov faktor zagotovi končnost energije Bessel-Gaussovega snopa). Tak snop je dober približek idealnemu Besselovemu snopu le do neke razdalje, ki pa je tipično bistveno večja kot Rayleighova dolžina ustrezna Gaussovega snopa.

Za eksperimentalno realizacijo približkov Besselovih snopov (in ostalih snopov brez uklona) se uporablja veliko različnih metod:

  • Fourierova preslikava tankega krožnega kolobarja (ustvarjanje Besselovih snopov poljubnega reda; zgodovinsko prvi uporabljen vendar energijsko zelo neučinkovit način, težave s pojavom oscilacij intenzitete približka Besselovega snopa na optični osi),
  • Uporaba stožčaste (axicon) leče (ustvarjanje Besselovih snopov poljubnega reda; najbolj popularen način, najbolj energijsko učinkovit, manj težav z oscilacijami intenzitete),
  • Holografija (ustvarjanje poljubnih snopov brez uklona; energijska učinkovitost od \sim 40% do \sim 60%),
  • Besselovi snopi kot lastni način ustreznega resonatorja (z uporabo optičnih elementov v resonatorju).

Od navedenih načinov je za eksperimantalno realizacijo Bessel-Gaussovega snopa v praksi najbolj popularna osvetlitev stožčaste (oz. axicon) leče (leča v obliki stožča) vzdolž simetrijske osi z Gaussovim snopom. S stališča geometrijske optike stožčasta leča spremeni naklone geometrijskih žarkov, ki sestavljajo Gaussov snop, iz vzporednih z optično osjo v nagnjene za nek konstanten kot θ0 ne glede na oddaljenost posameznega žarka od optične osi, kar pa je natanko geometrijski opis Besselovega snopa. Zaradi tega, ker ima vpaden snop v prečni smeri Gaussovski intenzitetni profil je tudi snop, ki izhaja iz stožčaste leče Bessel-Gaussov snop (z energijo skoraj enako kot vpaden snop - skoraj \sim 100% učinkovitost pretvorbe). Izkaže se, da je prednost uporabe Gaussovega snopa za osvetlitev stožčaste leče, v primerjavi z osvetlitvijo s snopom s konstantno intenziteto, v tem, da se na tak način močno zmanjajo neželene oscilacije intenzitete dobljenege snopa na optični osi.

Uporabo stožčaste leče lahko posplošimo tudi na približke Besselovim snopom višjega reda, saj če stožčasto lečo osvetlimo z Laguerre-Gaussovim snopom reda m dobimo Bessel-Gaussov snop reda m (to je idealen Besselov snop reda m, katerega kompleksna amplituda je pri z = 0 pomnožena s kompleksno amplitudo Gaussovega snopa). Tudi v tem primeru je energijska učinkovitost pretvorbe snopa približno \sim 100%.

Uporaba

Besselovi snopi (in ostali snopi brez uklona) se veliko uporabljajo za optično manipulacijo v postavitvi optične ali akustične pincete, kjer omogočajo manipulacijo z delci na poljubni globini (pomanjkanje uklona), hkratno manipulacijo z delci v dveh ali večih ravninah hkrati (pomanjkanje uklona in lastnost samoobnavljanja) in za spontano ustvarjanje 1D verig optično ujetih delcev (opaženih je bilo do 50 delcev premera m ujetih v verigo dolgo več milimetrov). Druga področja uporabe snopov brez uklona so še: optično spajanje (optical binding), optična transfekcija posameznih celic (transfekcija je tako uspešna neodvisno od vzdolžnega položaja celice), optična koherenčna tomografija (velika globinska ostrina zaradi odsotnosti uklona), nelinearna in femtosekundna fizika (npr. ustvarjanje tankih filamentov plazme v snovi) in optično slikanje.

Glej tudi

Viri

  • H. A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics (Prentice Hall, New Jersey, 1984
  • D. McGloin in K. Dholakia, Contemporary Physics 46, 15 (2005).
  • J. Durnin, J. Opt. Soc. Am. A 4', 651 (1986).
  • J. Durnin, J. J. Miceli, Jr. in J.H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 58, 1499 (1987).
Osebna orodja